Description

设 $S$ 为一个半径为 $1$，中心为 $(0, 0, 0)$ 的球。给定 $n+1$ 个点 $a_0, a_1, \ldots, a_n$，它们都位于 $S$ 的表面上。点 $a_1, \ldots, a_n$ 的位置是固定的，而 $a_0$ 的位置是在 $S$ 表面上均匀随机选取的。定义函数 $f$，若存在一个 $S$ 的半球包含 $a_0, \ldots, a_n$，则 $f=1$，否则 $f=0$。请计算 $f$ 的期望值。

Input Format

第一行包含一个整数 $n$，表示点的数量（$0\le n\le 100000$）。

接下来的 $n$ 行中，第 $i$ 行包含三个整数 $x, y, z$，表示点 $a_i=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)$（$-1000000\le x, y, z\le 1000000, x^2+y^2+z^2\neq 0$）。

保证 $a_1, \ldots, a_n$ 互不相同。

Output Format

输出答案。

如果你的答案的绝对误差或相对误差不超过 $10^{-6}$，则视为正确。

3
1 0 0
0 1 0
0 0 1

0.875000000000

Hint

由 ChatGPT 4.1 翻译