题目描述

Emiya 是个擅长做菜的高中生，他共掌握 $n$ 种烹饪方法，且会使用 $m$ 种主要食材做菜。为了方便叙述，我们对烹饪方法从 $1 \sim n$ 编号，对主要食材从 $1 \sim m$ 编号。

Emiya 做的每道菜都将使用恰好一种烹饪方法与恰好一种主要食材。更具体地，Emiya 会做 $a_{i,j}$ 道不同的使用烹饪方法 $i$ 和主要食材 $j$ 的菜 $(1\le i\le n, 1\le j\le m)$，这也意味着 Emiya 总共会做 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m a_{i,j}$ 道不同的菜。

Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友，然而三个人对菜的搭配有不同的要求，更具体地，对于一种包含 $k$ 道菜的搭配方案而言:

• Emiya 不会让大家饿肚子，所以将做至少一道菜，即 $k \ge 1$；
• Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜，因此她要求每道菜的烹饪方法互不相同；
• Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜，因此他要求每种主要食材至多在一半的菜（即 $\lfloor \frac k2 \rfloor$ 道菜）中被使用（这里的 $\lfloor x\rfloor$ 为下取整函数，表示不超过 $x$ 的最大整数）。

这些要求难不倒 Emiya，但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同，当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现，而不在另一种方案中出现。

Emiya 找到了你，请你帮他计算，你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 $998244353$ 取模的结果。

输入格式

从文件 meal.in 中读入数据。

第 $1$ 行两个用单个空格隔开的整数 $n, m$。 第 $2$ 行至第 $n + 1$ 行，每行 $m$ 个用单个空格隔开的整数，其中第 $i + 1$ 行的 $m$ 个数依次为 $a_{i,1}, a_{i,2}, \dots, a_{i,m}$。

输出格式

输出到文件 meal.out 中。

仅一行一个整数，表示所求方案数对 $998244353$ 取模的结果。

2 3
1 0 1
0 1 1

3

样例说明 1

由于在这个样例中，对于每组 $i, j$，Emiya 都最多只会做一道菜，因此我们直接通过给出烹饪方法、主要食材的编号来描述一道菜。

符合要求的方案包括：

• 做一道用烹饪方法 $1$、主要食材 $1$ 的菜和一道用烹饪方法 $2$、主要食材 $2$ 的菜
• 做一道用烹饪方法 $1$、主要食材 $1$ 的菜和一道用烹饪方法 $2$、主要食材 $3$ 的菜
• 做一道用烹饪方法 $1$、主要食材 $3$ 的菜和一道用烹饪方法 $2$、主要食材 $2$ 的菜

因此输出结果为 $3 \bmod 998244353 = 3$。 需要注意的是，所有只包含一道菜的方案都是不符合要求的，因为唯一的主要食材在超过一半的菜中出现，这不满足 Yazid 的要求。

3 3
1 2 3
4 5 0
6 0 0

190

样例说明 2

Emiya 必须至少做 $2$ 道菜。 做 $2$ 道菜的符合要求的方案数为 $100$。 做 $3$ 道菜的符合要求的方案数为 $90$。 因此符合要求的方案数为 $100 + 90 = 190$。

5 5
1 0 0 1 1
0 1 0 1 0
1 1 1 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1

742

样例 4

详见附加文件 meal4.in、meal4.ans。

样例 5

详见附加文件 meal5.in、meal4.ans。

数据范围与提示

测试点编号	$n=$	$m=$	$a_{i,j}<$
$1$	$2$	$2$	$2$
$2$		$3$
$3$	$5$	$2$
$4$		$3$
$5$	$10$	$2$
$6$		$3$
$7$	$10$	$2$	$10^3$
$8$		$3$
$9\sim 12$	$40$	$2$
$13\sim 16$		$3$
$17\sim 21$		$500$
$22\sim 25$	$100$	$2\times 10^3$	$998244353$

对于所有测试点，保证 $1 \le n \le 100$，$1 \le m \le 2\times 10^3$，$0 \le a_{i,j} < 998244353$。