一、单选题（共15题，每题2分，共计30分；每题有且只有一个正确选项。）

1. 在 Linux 系统终端中，用于列出当前目录下所含的文件和子目录的命令为（ ）。

A. ls B. cd C. cp D. all

2. 二进制数 $00101010_{2}$ 和 $00010110_{2}$的和为（）。

A. $00111100_{2}$ B. $01000000_{2}$ C. $00111100_{2}$ D. $01000010_{2}$

3. 在程序运行过程中，如果递归调用的层数过多，可能会由于（ ）引发错误。

A. 系统分配的栈空间溢出 B. 系统分配的队列空间溢出 C. 系统分配的链表空间溢出 D. 系统分配的堆空间溢出

4. 以下排序方法中，（ ）是不稳定的。

A. 插入排序 B. 冒泡排序 C. 堆排序 D. 归并排序

5. 以比较为基本运算，对于 $2n$ 个数，同时找到最大值和最小值，最坏情况下需要的最小的比较次数为（ ）。

A. $4n-2$ B. $3n+1$ C. $3n-2$ D. $2n+1$

6. 现有一个地址区间为 $0\sim 10$的哈希表，对于出现冲突情况，会往后找第一个空的地址存储 （到 $10$ 冲突了就从 $0$ 开始往后），现在要依次存储 $(0,1,2，3,4,5,6,7)$，哈希函数为 $h(x)=x^{2} \bmod {11}$。请问 $7$ 存储在哈希表哪个地址中（ ）。

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

7. G 是一个非连通简单无向图（没有自环和重边），共有 $36$ 条边，则该图至少有（ ）个点。

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

8. 令根结点的高度为 $1$，则一棵含有 $2021$ 个结点的二叉树的高度至少为（ ）。

A. 10 B. 11 C. 12 D. 2021

9. 前序遍历和中序遍历相同的二叉树为且仅为（ ）。

A. 只有 1 个点的二叉树 B. 根结点没有左子树的二叉树 C. 非叶子结点只有左子树的二叉树 D. 非叶子结点只有右子树的二叉树

10. 定义一种字符串操作为交换相邻两个字符。将 $\texttt{DACFEB}$ 变为 $\texttt{ABCDEF}$ 最少需要 ( ) 次上述操作。

A. 7 B. 8 C. 9 D. 6

11. 有如下递归代码

solve(t, n):
 if t=1 return 1
 else return 5*solve(t-1,n) mod n

则 solve(23,23) 的结果为（ ）。

A. 1 B. 7 C. 12 D. 22

12. 斐波那契数列的定义为： $F_{1}==1，F_{2}=1，F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ ​$(n\geq 3)$。现在用如下程序来计算斐波那契数列的第 $n$ 项，其时间复杂度为（ ）。

F(n):
  if n<=2 return 1
  else return F(n-1) + F(n-2)

A. $O(n)$ B. $O(n^{2})$ C. $O(2^{n})$ D. $O(n\ log\ n)$O

13. 有 8 个苹果从左到右排成一排，你要从中挑选至少一个苹果，并且不能同时挑选相邻的两个苹果，一共有（ ）种方案。

A. 36 B. 48 C. 54 D. 64

14. 设一个三位数 $n= \overline{abc}$，$a,b,c$ 均为 $1\sim 9$ 之间的整数，若以 $a$、 $b$、 $c$ 作为三角形的三条边可以构成等腰三角形（包括等边），则这样的 $n$ 有（ ）个。

A. 81 B. 120 C. 165 D. 216

15. 有如下的有向图，节点为 $A ,B , \cdots , J$, 其中每条边的长度都标在图中。则节点 A 到节点 J 的最短路径长度为（ ）。

A. 16 B. 19 C. 20 D. 22

二、阅读程序（程序输入不超过数组或字符串定义的范围；判断题正确填 √ ，错误填 × ；除特 殊说明外，判断题 1.5 分，选择题 3 分，共计 40 分）

假设输入的所有数的绝对值都不超过 $1000$ ，完成下面的判断题和单选题：

·判断题

1）将第 21 行中 t 的类型声明从 int 改为 double， 不会 影响程序运行的结果。（）

A. 正确 B. 错误

2）将第 26、27 行中的 / sqrt(t) / 2替换为/ 2 / sqrt(t)，不会影响程序运行的结果。（ ）

A. 正确 B. 错误

3）将第 28 行中的 x * x 改成 sq(x)、y * y 改成 sq(y)，不会影响程序运行的结果。（ ）

A. 正确 B. 错误

4）（2 分） 当输入为 0 0 0 1 1 0 0 1 时，输出为 1.3090 ( )

A. 正确 B. 错误

·单选题

5）当输入为 1 1 1 1 1 1 1 2 时，输出为（ ）。

A. 3.1416 B. 6.2832 C. 4.7124 D. 4.1888

6）（2.5 分）这段代码的含义为（ ）。

A. 求圆的面积并 B. 求球的体积并 C. 求球的体积交 D. 求椭球的体积并

假设输入的所有数的绝对值都不超过 1000 ，完成下面的判断题和单选题：

·判断题

1）程序总是会正常执行并输出两行两个相等的数。（ ）

A. 正确 B. 错误

2）第 28 行与第 38 行分别有可能执行两次及以上。（ ）

A. 正确 B. 错误

3）当输入为 5 -10 11 -9 5 -7 时，输出的第二行为 7。( )

A. 正确 B. 错误

·单选题

4）solve1(1, n) 的时间复杂度为（ ）。

A. $O(\log n)$ B. $O(n)$ C. $O(n \log n)$ D. $O(n^{2})$

5）solve2(1, n) 的时间复杂度为（ ）。

A. $O(\log n)$ B. $O(n)$ C. $O(n \log n)$ D. $O(n^{2})$

6）当输入为 10 -3 2 10 0 -8 9 -4 -5 9 4 时，输出的第一行为（ ）。

A. 13 B. 17 C. 24 D. 12

假设输入总是合法的（一个整数和一个不含空白字符的字符串，用空格隔开），完成下面的判断题和单选题：

·判断题

1）程序总是先输出 一行 一个整数，再输出 一行 一个字符串。（ ）

A. 正确 B. 错误

2）对于任意不含空白字符的字符串 str1，先执行程序输入0 str1，得到输出的第二行记为 str2 再执行程序输入1 str2，输出的第二行必为 str1。（ ）

A. 正确 B. 错误

3）当输入为1 SGVsbG93b3JsZA==时，输出的第二行为HelloWorld。( )

A. 正确 B. 错误

·单选题

4）设输入字符串长度为 $n$，encode 函数的时间复杂度为（ ）。

A. $O( \sqrt{n})$ B. $O(n)$ C. $O(n\log n)$ D. $O(n^2)$

5）输出的第一行为（ ）。

A. 0xff B. 255 C. 0xFF D. -1

6）（4 分） 当输入为 0 CSP2021csp 时，输出的第二行为（ ）。

A. Q1NQMjAyMWNzcAv= B. Q1NQMjAyMGNzcA== C. Q1NQMjAyMGNzcAv= D. Q1NQMjAyMWNzcA==

三、完善程序（单选题，每小题 3 分，共计 30 分） (1) （魔法数字） 小 H 的魔法数字是 4。给定 $n$， 他希望用若干个 $4$ 进行若干次加法、减法和整除运算得到 $n$。但由于小 H 计算能力有限，计算过程中只能出现不超过 $M = 10000$的正整数。求至少可能用到多少个 $4$。

例如，当 $n=2$ 时，有 $2=\dfrac{4 + 4}{4}$，用到了 3 个 4，是最优方案。

①处应填（ ）

A. F[4] = 0 B. F[1] = 4 C. F[1] = 2 D. F[4] = 1

②处应填（ ）

A. !Vis[n] B. r < n C. F[M] == INT_MAX D. F[n] == INT_MAX

③处应填（ ）

A. F[i] == r B. !Vis[i] && F[i] == r C. F[i] < F[x] D. !Vis[i] && F[i] < F[x]

④处应填（ ）

A. F[i] < F[x] B. F[i]<=r C. Vis[i] D. i <= x

（ RMQ 区间最值问题） 给定序列 $a_0,\cdots,a_{n-1},$, $m$ 次询问，每次询问给定 $l,r$，求 $\max \{a_l,\ ...,a_r\}$。

为了解决该问题，有一个算法叫 the Method of Four Russians ，其时间复杂度为 $O(n+m)$，步骤如下：

建立 Cartesian（笛卡尔）树，将问题转化为树上的 LCA（最近公共祖先）问题。

对于 LCA 问题，可以考虑其 Euler 序（即按照 DFS 过程，经过所有点，环游回根的序列），即求 Euler 序列上两点间一个新的 RMQ 问题。

注意新的问题为 $\pm1$ RMQ，即相邻两点的深度差一定为 $1$。

下面解决这个 $\pm1$ RMQ 问题，“序列”指 Euler 序列：

设 $t$ 为 Euler 序列长度。取 $b=\lceil \frac{\log_2 t}{2} \rceil$ 将序列每 $b$ 个分为一大块， 使用 ST 表（倍增表）处理大块间的 RMQ 问题，复杂度 $O(\frac{t}{b}\log t)=O(n)$。

（重点） 对于一个块内的 RMQ 问题，也需要 $O(1)$ 的算法。由于差分数组 $2^{b-1}$种，可以预处理出所有情况下的最值位置，预处理复杂度 $O(b2^b)$，不超过 $O(n)$。

最终，对于一个查询，可以转化为中间整的大块的 RMQ 问题，以及两端块内的 RMQ 问题。

①处应填（ ）

A. p->son[0] = S[top--] B. p->son[1] = S[top--] C. S[top--]->son[0] = p D. S[top--]->son[1] = p

②处应填（ ）

A. p->son[0] = S[top] B. p->son[1] = S[top] C. S[top]->son[0] = p D. S[top]->son[1] = p

③处应填（ ）

A. x->dep < y->dep B. x < y C. x->dep > y->dep D. x->val < y->val

④处应填（ ）

A. A[i * b + j - 1] == A[i * b + j]->son[0] B. A[i * b + j]->val < A[i * b + j - 1]->val C. A[i * b + j] == A[i * b + j - 1]->son[1] D. A[i * b + j]->dep < A[i * b + j - 1]->dep

⑤处应填（ ）

A. v += (S >> i & 1) ? -1 : 1 B. v += (S >> i & 1) ? 1 : -1 C. v += (S >> (i - 1) & 1) ? 1 : -1 D. v += (S >> (i - 1) & 1) ? -1 : 1

⑥处应填（ ）

A. (Dif[p] >> (r - p * b)) & ((1 << (r - l)) - 1) B. Dif[p] C. (Dif[p] >> (l - p * b)) & ((1 << (r - l)) - 1) D. (Dif[p] >> ((p + 1) * b - r)) & ((1 << (r - l + 1)) - 1)

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