Background

Special for beginners, ^_^

Description

这是一个单人游戏。

游戏开始时，玩家控制的人物出生在迷宫的某个位置，玩家的目标是控制人物走到迷宫的某个出口（出口可能有多个）。迷宫里有k类陷阱（用“A”、“B”、“C”……表示，相同字母代表相同类型的陷阱），每类陷阱可能是有害的或无害的，而在游戏开始时玩家并不知道哪些陷阱是有害的，哪些是无害的。同一类陷阱的状态相同，即用同一个字母标志的陷阱要么全部有害，要么全部无害，不会发生一部分有害而另一部分无害的情况。任何陷阱状态的组合都有一个发生概率，考虑下例：

当k=2时，迷宫内共有两类陷阱，分别用“A”和“B”表示，陷阱状态的组合共有4种：

1、“A”是无害陷阱，“B”是无害陷阱。

2、“A”是有害陷阱，“B”是无害陷阱；

3、“A”是无害陷阱，“B”是有害陷阱；

4、“A”是有害陷阱，“B”是有害陷阱；

下面给出了一个合法的概率表格：

	“A”是无害陷阱	“A”是有害陷阱
“B”是无害陷阱	36%	24%
“B”是有害陷阱	24%	16%

当K=3时，会有8种不同的陷阱状态组合，如果我们依然坚持使用概率表格，那么这个表格将会是三维的（222，每一维对应着一类陷阱）。当K≥3时，这将使得题目难以描述。因此我们使用一个大小为2^k^的数组p来描述每种情况发生的可能性，p的下标范围为0~2 ^k^ -1。

p是这样生成的：

对于每个可能的陷阱状态组合，考虑所有k类陷阱，令1表示某个陷阱有害，0表示某个陷阱无害，把“A”作为二进制数的第0位（从右边开始计数），“B”作为第1位，“C”作为第2位……通过以上操作，我们可以得到一个K位的二进制数，把它转化成十进制后，2^k^种陷阱状态的组合将会与整数0~2 ^k^ -1一一对应。

定义S表示P中所有元素和，即：

则陷阱状态组合i出现的概率为P ~i ~ / S。上述表格对应的一个合法数组P是：

P~0~ =36

P ~1 ~ =24

P ~2 ~ =24

P ~3~ =16

当然同一个概率表格可能会对应多个数组P（事实上有无数个数组P能够迎合表格数据），例如上述表格同时也对应着下面的数组P：

P ~0~ =72

P ~1~ =48

P ~2~ =48

P ~3~ =32

玩家控制的人物初始情况下有H点生命，当人物踏上某个陷阱时，如果这个陷阱是有害的，那么会损失1点生命，否则这个陷阱是无害的，不损失生命。无论上述哪种情况发生，玩家会立刻得到这个陷阱的信息（有害或无害）。一旦生命小于等于0，玩家控制的人物会立刻死亡。

迷宫可以看作m*n的方格地图，每个元素可能是：

“.”：表示这是平地，可以通过；

“#”：表示这是墙，不能通过；

“A”，“B”，“C”……：表示这是一个陷阱；

“$”：表示这是起点，地图中有且仅有一个；

“@”：表示这是终点，地图中可以有多个，也可以一个也没有。

人物可以向上下左右四个方向行走，不可以走对角线，也不可以走出地图。

给定m*n的地图、k、h以及大小为2^k^的概率数组。你的任务是求出在执行最优策略时，人物能活着走出迷宫的概率。

Format

Input

第一行包含4个整数，分别表示m、n、K、H；

下面m行每行n个字符描述迷宫地图；

最后一行包含2^K^个非负整数描述数组P，数组下标从0开始。

Output

仅包含一个数字，表示在执行最优策略时，人物活着走出迷宫的概率。四舍五入保留3位小数。

Samples

4 3 2 1
.**[Math Processing Error]**.
A#B
A#B
.@.
30 30 20 20

0.800

4 3 2 3
.**[Math Processing Error]**.
A#B
A#C
@@@
143 37 335 85 95 25 223 57

0.858

Limitation

【样例说明2】 向左边走，经过“A”，“A”为有害陷阱的概率为 (30+30)/(30+30+20+20)=0.5。若“A”为有害陷阱，那么损失一点生命，转到右边尝试“B”，要想成功到达终点，此时“B”必须为无害陷阱，而在“A”是有害陷阱的前提下，“B”是无害陷阱的概率是30/(30+20)=0.6，故这种情况发生的概率为0.5*0.6=0.3。若“A”是无害陷阱，玩家可以控制人物连续通过两个“A”到达终点，这种情况发生的概率0.5。所以答案为0.3+0.5=0.8。