如果一个点 $u\in V’$ 我们称 $u$ 是被选择的，在选取 $V’$ 所有点后 $E’$ 可以唯一确定，所以只需要统计有多少种 $V’$ 的选取方式。考虑每个点双联通分量，其中恰好只有一个点被选择或者全部选择（否则一定存在路径 $x\leftrightarrow a\leftrightarrow b\leftrightarrow\cdots \leftrightarrow y$ 其中只有 $x,y$ 是被选择的，移除 $E’$ 的边后 $x,y$ 仍然联通）。受此启发，可以建立圆方树处理。此外还需要满足圆方树上被选择的点构成一个联通快。每个被选择的圆点对应的剩余联通块大小等于 $n$ 减去其相邻的被选择的点对应的子树大小。

假设 $|V’|=k$，我们会发现联通块大小只能是 $\lfloor n/ k\rfloor$ 或者 $\lceil n/k\rceil$，最多只会有 $O(\sqrt n)$ 个，所以我们可以枚举这些大小 $s$，在树上 DP 求出合法的选择方案 $V’$ 使得每个点对应的联通块大小为 $s$ 或者 $s+1$。设 $f_u$ 表示只考虑子树 $u$ 中的点，且 $u$ 是被选中的合法方案数。对于方点，只需求出每个孩子 $f_v$ 的乘积。对于圆点，我们将孩子节点分为三类：子树大小 $<s$, $=s$ 或者 $\ge s+1$ 的（称作 A,B,C 类点）。对于 A 类点，只能依附于点 $u$ 之上，设 $sum$ 表示它们的大小之和；对于 C 类点，只能是独立存在的，只需求出它们 $f$ 的乘积，记做 $prod$；另外对于 $B$ 类点，可以选择独立存在，也可以是依附于 $u$ 上，我们将这类点的数量记做 $cnt$。如果 $sum+1$ 是 $s$ 或 $s+1$，则 $f_u$ 可以累加一。如果 $sum+1$ 与子树之外的点大小之和为 $s$ 或 $s+1$ 我们可以把 $prod$ 累加到答案上（强制所有选择方案的贡献在联通块的最上方统计）。之后考虑存在一个 B 类点依附 $u$ 的情况，此时令 $sum$ += $s$，$prod~\operatorname{\times =} ~cnt$，重复上述统计过程，不难发现所有情况都被考虑到了。

时间复杂度 $O(n\log n)$。另存在 $O(n)$ 做法。